简述一下二进制的计算

我们都知道计算机表示数据都是用二进制来表示，我们不妨来回忆一下二进制的计算，如下图所示，计算8的二进制时，我们只需不断除2，余数作为二进制数，得数做为继续计算的被除数，直至算到得数为0了为止。

为什么负数要使用补码进行表示

这一点我们可以用反正法来看看结果，就以-2+1为例，我们都知道负数高位为1，所以-2如果不用反码的话二进制为

而1的二进制为

按照这种表示方式，最终计算-2+1结果为-3，很明显这是不符合预期的，当然也不是说不能用，只是说处理负数+正数的时候，我们需要特殊处理一下，例如加法操作变成减法操作等。

使用反码进行计算

不难看出上述的正负数相加实现加法非常的恶心，所以我们需要进行改良，可以看出正负数是相反的，那么我们有没有一种方法来表示这样的对称关系呢？ 反码，说白了就是将正数的二进制表示形式全部反过来，我们还是以-2+1为例进行一下计算

老规矩1的二进制为

00000000 00000000 00000000 00000001

-2的使用反码可以表示为

1111111 11111111 11111111 11111101

最终相加可得如下，我们都知道高位为1是负数，所以我们取反回去看看正数是多少加个负号就是结果了，最终得出结果为-1

11111111 11111111 11111111 11111110

为什么反码就能解决正负数相加问题，我们还需要用补码来表示负数呢？

很简单，我们用反码计算方式算一下3+(-2)

1的二进制为

0000000 00000000 00000000 00000001

-2用反码表示为

11111111 11111111 111111111 11111101

最终结果为全0,很明显计算异常了

00000000 00000000 00000000 000000000

所以为了避免这种计算异常我们就需要对反码+1得到补码，避免反码和正常二进制相加数据溢出导致全0的问题

所以-2使用补码可以表示为

11111111 11111111 11111111 1111110

最终运算结果就是1

小数的二进制转换

负数的二进制转换很简单，不断乘2，得到的整数作为结果，小数部分继续乘2，直到没有小数为止 话不多说，我们就以8.625为例，可以看到整数部分8得到1000无异议，0.625经过计算得到101 最终结果为1000.101

当然，也不是所有的小数都可以得到这样完美的结果，例如0.1，所以面对这种情况我们只能用近似值来表示了

需要注意的是1000.101小数还原为十进制的计算方式有点特殊十分位的二进制计算是2* 10 ^ (-1),依次类推，和二进制正数计算方式有所区别，具体可以参照下图

计算机如何保存带有小数的数据

介绍一下科学计数法

首先我们需要了解一下科学计数法，例如1230000化为1.23*10(^6)这种就是科学计数法，即整数部分只有一个数字，像 12.3 *10(^5)就不是科学计数法了

同理上文，8.625得到的二进制值为1000.101，参照十进制的计算方式我们也可以得出科学计数法结果为1.000101*2(^3)(小数点向左移动三位变小了，所以需要*2(^3))

如何用二进制空间表示科学计数法的结果

众所周知，float使用二进制32位表示，double用二进制64位表示，下图便是他们存储带有小数的数值的内存空间划分

我们不妨用10.625作为例子看看将其存到float内存空间是什么样子的

1. 首先计算出10.625的二进制值

1010.101

2. 将其化为科学计数法

1.010101*2(^3)

3. 存到float的内存空间，通过上文我们可以了解到float的内存空间如下所示 然后看看我的科学计数表示的值，很明显是个正数所以符号为为0 因为科学计数*2(^3)，所以指数位为3，但是指数为可能存在正负数的情况，计算机为了方便表示都会加一个偏移量127，例如我们这里的指数为3，那么指数位就是1000010，如果是-3那就表示为01111010 最后是尾数010101由于只有6位，用0填充剩下的18位得010101000000000000000000 综上所述得

0 1000010 010101000000000000000000

可能细心的同学会发现正数为的1没了，回答这个问题也很简单， IEEE 标准规定整数为只能1位且为1(像0.5这样的十进制通通用1*(2^-1)的二进制数表示)

既然将了换算成二进制，那么我们就来讲讲怎么还原为十进制吧

1. 高位为0即正数 +
2. 指数位为130-127=3
3. 尾数为为010101可得1/4+1/16+1/64
4. 再加上正数为的1得1.328125
5. 1.328125*8=10.625

0.1+0.2==0.3返回false

问题描述

由上面的篇幅，我们大概就知道了0.1+0.2为什么不等于0.3了，我们不妨计算一下 就用float为例 0.1可得

0 01111011 10011001100110011001101

0.2用float存可得

0 01111100 10011001100110011001101 

相加可得

解决方案

所以我们在使用java进行小数比较计算时建议使用BigDecimal 来解决，因为BigDecimal 通过借助整数来表示小数的方式，因为对于整数而言，二进制和十进制是完全一一对应的，用整数来表示小数，再记录下小数的位数，就可以完美的解决该问题。工具类如下：

public class ArithUtil {

    // 除法运算默认精度
    private static final int DEF_DIV_SCALE = 10;

    private ArithUtil() {

    }

    /**
     * 精确加法
     */
    public static double add(double value1, double value2) {
        BigDecimal b1 = BigDecimal.valueOf(value1);
        BigDecimal b2 = BigDecimal.valueOf(value2);
        return b1.add(b2).doubleValue();
    }

    /**
     * 精确减法
     */
    public static double sub(double value1, double value2) {
        BigDecimal b1 = BigDecimal.valueOf(value1);
        BigDecimal b2 = BigDecimal.valueOf(value2);
        return b1.subtract(b2).doubleValue();
    }

    /**
     * 精确乘法
     */
    public static double mul(double value1, double value2) {
        BigDecimal b1 = BigDecimal.valueOf(value1);
        BigDecimal b2 = BigDecimal.valueOf(value2);
        return b1.multiply(b2).doubleValue();
    }

    /**
     * 精确除法 使用默认精度
     */
    public static double div(double value1, double value2) throws IllegalAccessException {
        return div(value1, value2, DEF_DIV_SCALE);
    }

    /**
     * 精确除法
     * @param scale 精度
     */
    public static double div(double value1, double value2, int scale) throws IllegalAccessException {
        if(scale < 0) {
            throw new IllegalAccessException("精确度不能小于0");
        }
        BigDecimal b1 = BigDecimal.valueOf(value1);
        BigDecimal b2 = BigDecimal.valueOf(value2);
        // return b1.divide(b2, scale).doubleValue();
        return b1.divide(b2, scale, BigDecimal.ROUND_HALF_UP).doubleValue();
    }

    /**
     * 四舍五入
     * @param scale 小数点后保留几位
     */
    public static double round(double v, int scale) throws IllegalAccessException {
        return div(v, 1, scale);
    }

    /**
     * 比较大小
     */
    public static boolean equalTo(BigDecimal b1, BigDecimal b2) {
        if(b1 == null || b2 == null) {
            return false;
        }
        return 0 == b1.compareTo(b2);
    }
}

测试：

 public static void main(String[] args) {
        double result = ArithUtil.add(1.2d, -1.1d);
        System.out.println(result==0.1); //true
    }

参考文献

为什么 0.1 + 0.2 不等于 0.3 ？ (opens new window) 为什么计算机负数的补码取反后要加一？要加一？要加一？ (opens new window) Java中的小数运算与精度损失 (opens new window)